Cálculo III
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Cálculo 3

Escuela de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Universidad Industrial de Santander

Módulo 4. Cálculo vectorial

Lección 4.1 Integral de línea de un campo vectorial, teorema de Green, bucle y divergencia de un campo vectorial.


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1. Preparación de la lección

Competencias de la lección

  • Al finalizar la lección, el estudiante será capaz de formular y calcular la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva, utilizando la parametrización adecuada y comprendiendo su interpretación física en términos de trabajo realizado por el campo a lo largo del camino.
  • Explicar el teorema de Green, que relaciona la integral de línea alrededor de una curva cerrada con la integral doble sobre la región delimitada por esa curva. Será capaz de aplicar este teorema para simplificar cálculos y resolver problemas en el contexto de campos vectoriales.
  • Entender las diferencias entre el flujo de un campo vectorial a través de una superficie y la circulación de un campo vectorial a lo largo de un bucle. Podrá analizar situaciones en las que se aplica cada uno de estos conceptos y su relación con el teorema de Green.
  • Calcular la divergencia de un campo vectorial y a interpretar su significado físico, como la medida de la "fuente" o "sumidero" en un punto del campo. Comprenderá la relación entre la divergencia y el flujo a través de superficies cerradas.
  • Utilizar el teorema de Green y los conceptos de divergencia y circulación para resolver problemas prácticos en física e ingeniería, como el análisis de campos eléctricos y fluidos, proporcionando un enfoque matemático a fenómenos reales.

Resumen

2. Profundización de la lección

Lección 4.1 Integral de línea de un campo vectorial, teorema de Green, bucle y divergencia de un campo vectorial.

  1. (T4.1) Integral de línea de un campo vectorial: independencia de la trayectoria y teorema fundamental para integrales de línea. (Bibliografía: Thomas p.947-965, Stewart p.1082-1093, Smith p.997-1009)
  2. (T4.2) Teorema de Green, bucle y divergencia de un campo vectorial. (Bibliografía: Thomas p.968-973, Stewart p.1096-1107, Smith p.1012-1024)
3. Reto de la lección

Aula de entrenamiento ExperTIC

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4. Cierre de la lección

Autoevaluación

  • ¿Cuáles son las aplicaciones físicas de la integral de línea de un campo escalar?
  • ¿Qué significa que una integral de línea de un campo vectorial sea independiente de la trayectoria y cuáles son las condiciones para que esto ocurra?
  • ¿Qué establece el teorema fundamental para integrales de línea y cómo se relaciona con campos conservativos?
  • ¿Cómo se determina si un campo vectorial admite una función potencial a partir de la integral de línea?
  • ¿Qué es el Teorema de Green y cómo se aplica para relacionar una integral de línea con una integral doble en el plano?
  • ¿Cuál es la interpretación geométrica de la divergencia de un campo vectorial y cómo se refleja en el Teorema de Green?

Estimados estudiantes,
Ahora que hemos concluido nuestra lección, es importante reflexionar sobre lo aprendido y consolidar nuestros conocimientos. A continuación, repasaremos los puntos clave de cada tema y evaluaremos nuestra comprensión a través de algunas preguntas reflexivas.